Шар описанный вокруг пирамиды. Шар описанный около цилиндра и конуса называется а. Комбинация шара с круглыми телами
Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.
На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, . В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. которые необходимо знать!
Формула объёма шара:
Формула площади поверхности шара:
Формула объёма цилиндра:
Формула площади поверхности цилиндра:
Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:
Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.
Что стоит отметить касаемо представленных задач?
1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.
2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).
3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.
245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
Формула объёма шара:
Необходимо найти радиус шара.
У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:
Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R 3 .
Таким образом, объём шара будет равен:
Ответ: 22
245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
Эта задача обратная предыдущей.
Формула объёма шара:
Объём цилиндра вычисляется по формуле:
Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:
Таким образом:
Ответ: 36
316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Формула поверхности шара:
Формула поверхности цилиндра:
Упростим:
Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:
Ответ: 166,5
Когда в задаче дана вписанная в шар пирамида, при ее решении будет полезна следующая теоретическая информация.
Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.
Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.
Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует, что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар четырехугольная пирамида с параллелограммом в основании может иметь основанием прямоугольник либо квадрат.
Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.
Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.
При решении задач на вписанную в шар пирамиду чаще всего рассматривают некоторые треугольники.
Начнем с треугольника SO1C. Он равнобедренный, поскольку две его стороны равны как радиусы шара: SO1=O1С=R. Следовательно, O1F — его высота, медиана и биссектриса.
Прямоугольные треугольники SOC и SFO1 подобны по острому углу S. Отсюда
SO=H — высота пирамиды, SC=b — длина бокового ребра, SF=b/2, SO1=R, OC=r — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.
В прямоугольном треугольнике OO1C г гипотенуза O1C=R, катеты OC=r, OO1=H-R. По теореме Пифагора:
Если продолжить высоту SO, получим диаметр SM. Треугольник SCM — прямоугольный (так как вписанный угол SCM опирается на диаметр). В нем OC — высота, проведенная к гипотенузе, SO и OM — проекции катетов SC и CM на гипотенузу. По свойствам прямоугольного треугольника,
ШАР, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО ЦИЛИНДРА И КОНУСА называется (а), если вершина конуса лежит на поверхности шара, а основание конуса сечением шара. Около прямого кругового конуса всегда можно описать шар Центр описанного около конуса шара лежит на высоте конуса. Центр описанного около конуса шара может находиться и внутри, и вне конуса, а также совпадать с центром основания.
называется), если основания цилиндра являются сечениями шара. (а Около прямого кругового цилиндра можно описать. Центр описанного около цилиндра шара лежит на высоте цилиндра.
Центр окружности описанной около треугольника является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника Центр окружности описанной около треугольника может находится вне треугольника Для правильного треугольника: R= Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника является серединой гипотенузы. Для правильного четырехугольника: R= a сторона; R – радиус вписанной окружности
№ 645. Цилиндр вписан в сферу. Найти отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания. R R Дано: сфера с центром О, вписан цилиндр, h=2 R Найти: R Анализ условий: О R 1. Sсферы= 2. Sполной поверхности цилиндра = 3. h=2 R Ответ.
Окружающий нас мир, несмотря на многообразие предметов и происходящих с ними явлений, преисполнен гармонии благодаря чёткому действию законов природы. За кажущейся свободой, с которой природа рисует очертания и создаёт формы вещей, скрываются чёткие правила и законы, невольно наталкивающие на мысль о присутствии в процессе созидания какой-то высшей силы. На грани прагматической науки, дающей описание происходящим явлениям с позиции математических формул и теософских мировоззрений, существует мир, дарящий нам весь букет эмоций и впечатлений от наполняющих его вещей и происходящих с ними событий.
Шар как является наиболее часто встречающейся в природе формой для физических тел. Большинство тел макромира и микромира имеют форму шара или же стремятся приблизиться к таковой. По сути, шар является примером идеальной формы. Общепринятым определением для шара принято считать следующее: это геометрическое тело, совокупность (множество) всех точек пространства, которые находятся от центра на расстоянии, не превышающем заданного. В геометрии это расстояние получило название радиуса, а применительно к данной фигуре оно называется радиусом шара. Другими словами, в объём шара заключены все точки, находящиеся на расстоянии от центра, не превышающем длину радиуса.
Шар еще рассматривают как результат вращения полукруга вокруг его диаметра, который при этом остаётся неподвижным. При этом к таким элементам и характеристикам, как радиус и объём шара, добавляется ось шара (неподвижный диаметр), а его концы называются полюсами шара. Поверхность шара принято называть сферой. Если имеем дело с замкнутым шаром, то он включает эту сферу, если с открытым, то он её исключает.
Рассматривая дополнительно связанные с шаром определения, следует сказать о секущих плоскостях. Проходящую сквозь центр шара секущую плоскость принято называть большим кругом. Для других плоских сечений шара принято применять название «малые круги». При вычислении площадей этих сечений используется формула πR².
Вычисляя объём шара, математики столкнулись с довольно увлекательными закономерностями и особенностями. Оказалась, что эта величина либо полностью повторяет, либо очень близка по способу определения к объёму пирамиды или описанного вокруг шара цилиндра. Получается, что объем шара равен если её основание имеет такую же площадь, как поверхность шара, а высота равна радиусу шара. Если же рассмотреть описанный вокруг шара цилиндр, то можно вычислить закономерность, согласно которой объем шара меньше объёма этого цилиндра в полтора раза.
Привлекательно и оригинально выглядит способ вывода шара при помощи принципа Кавальери. Он заключается в нахождении объёма любой фигуры путём сложения площадей, полученных её сечением бесконечным количеством Для вывода возьмём полушар радиусом R и цилиндр, имеющий высоту R с основанием-кругом радиусом R (основания полушара и цилиндра расположены в одной плоскости). В данный цилиндр вписываем конус с вершиной в центре нижнего его основания. Доказав, что объём полушара и части цилиндра, оказавшиеся за пределами конуса, равны, легко высчитаем объем шара. Формула его приобретает следующий вид: четыре третьих произведения куба радиуса на π (V= 4/3R^3×π). Это легко доказать, проведя общую секущую плоскость через полушар и цилиндр. Площади малого круга и кольца, ограниченного снаружи сторонами цилиндра и конуса, равны. А, используя принцип Кавальери, нетрудно прийти к доказательству основной формулы, с помощью которой мы и определяем объем шара.
Но не только с проблемой изучения природных тел связано нахождение способов определения различных их характеристик и свойств. Такая фигура стереометрии, как шар очень широко используется в практической деятельности человека. Масса технических устройств имеет в своих конструкциях детали не только шарообразной формы, но и составленные из элементов шара. Именно копирование идеальных природных решений в процессе человеческой деятельности даёт наиболее качественные результаты.
