Физический смысл производной. Задачи! Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений Производная ускорения по времени
До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной с научной точки зрения задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины f (t) , меняющейся с течением времени t. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, "флюэнты"). Когда некоторая частица движется вдоль оси х, то ее движение вполне определено, раз задана функция х = f (t) , указывающая положение частицы х в любой момент времени t. "Равномерное движение" с постоянной скоростью b по оси х определяется линейной функцией х = а + bt , где а есть положение частицы в начальный момент (при t = 0 ).
Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями
x = f(t), y = g(t),
которые определяют ее координаты как функции времени. В частности* равномерному движению соответствуют две линейные функции
x = a + bt, y = c + dt,
где b и d - две "компоненты" постоянной скорости, а a и с - координаты начального положения частицы (при t = 0 ); траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой
(х - a) d - (y - с) b = 0
получается путем исключения t из двух стоящих выше соотношений.
Если частица движется в вертикальной плоскости х, у под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями
где а, b, с, d - постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, а g - ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние - в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения t из двух данных уравнений, есть парабола
если только b≠0 ; в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.
Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией s (t) (функцией времени t), равной длине дуги s, вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки Р 0 до положения частицы в точке Р в момент времени t. Например, если речь идет о единичном круге х 2 + y 2 = 1 , то функция s = ct определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью с .
* Упражнение. Начертить траектории плоских движений, заданных уравнениями: 1) х = sin t, y = cos t; 2) х = sin 2t, y = cos 3t; 3) х = sin 2t, y = 2 sin 3t ; 4) в описанном выше параболическом движении предположить начальное положение частицы (при t = 0) в начале координат и считать b>0, d>0 . Найти координаты самой высокой точки траектории. Найти время t и значение х, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью х.
Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией х = f (t) . Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени t и t 1 и соответствующие им положения частиц f (t) и f (t 1) и составив отношение
Например, если t измерено в часах, а х в километрах, то при t 1 - t = 1 разность х 1 - х будет числом километров, пройденных за 1 час, а v - скоростью (в километрах в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение
не изменяется при любых значениях t и t 1 . Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (3) не дает значения скорости в момент t, а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от t до t 1 . Чтобы получить скорость в момент t , нужно вычислить предел средней скорости при стремлении t 1 к t. Таким образом, следуя Ньютону, мы определим скорость так:
Другими словами, скорость есть производная от пройденного пути (координаты частицы на прямой) по времени, или "мгновенная скорость изменения" пути по отношению к времени - в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (3).
Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение - это просто производная от производной; оно обычно обозначается символом f"(t) и называется второй производной от функции f (t).
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин ε и х было придумано специальное обозначение: ε обозначается как ∆t, а х - как ∆s. Величина ∆t означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок ∆ ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin θ не означает s·i·n·0. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок ∆ напоминает нам о его особом характере. Ну, а если ∆ не множитель, то его нельзя сократить в отношении ∆s/∆t. Это все равно, что в выражении sin θ/sin 2θ сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения ∆s/∆t при ∆t, стремящемся к нулю, т. е.
Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.
Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. ∆s = υ∆t. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала ∆t, а это, вообще говоря, происходит, только когда ∆t достаточно мало. В таких случаях обычно пишут ds = υdt, где под dt подразумевают интервал времени ∆t при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал ∆t достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение ∆s = υ∆t будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds = υdt точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид
Величина ds/dt называется «производной s по t» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того; дифференцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds/dt, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5t 2 , или просто производную от 5t 2 . Она оказалась равной 10t. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение s = At 3 + Bt + С, которое может описывать движение точки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t. Рассмотрим для этого момент t + ∆t, причем к s прибавится некоторая добавка ∆s, и найдем, как выражается ∆s через ∆t. Поскольку
Но нам нужна не сама величина ∆s, а отношение ∆s/∆t. После деления на ∆t получим выражение
которое после устремления ∆t к нулю превратится в
В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные (∆t) 2 или (∆t) 3 или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем ∆t устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.
Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:
Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.
Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).
Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):
Рассмотрим задачи:
x (t) = t 2 – 7t – 20
где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
При t = 5 имеем:
Ответ: 3
Решить самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Ответ: 3
Решите самостоятельно:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.
Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об
определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной, с научной точки зрения, задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины меняющейся с течением времени. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, «флюэнты»). Когда некоторая частица движется вдоль оси х, то ее движение вполне определено, раз задана функция указывающая положение частицы х в любой момент времени t. «Равномерное движение» с постоянной скоростью по оси х определяется линейной функцией где а есть положение частицы в начальный момент
Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями
которые определяют ее координаты как функции времени. В частности, равномерному движению соответствуют две линейные функции
где две «компоненты» постоянной скорости, а а и с - координаты начального положения частицы (при траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой
получается путем исключения из двух стоящих выше соотношений.
Если частица движется в вертикальной плоскости х, у под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями
где постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние - в метрах. Траектория движения, получаемая путем исключения из двух данных уравнений, есть парабола
если только в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.
Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией (функцией времени равной длине дуги вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки до положения частицы в точке Р в момент времени Например, если речь идет о единичном круге то функция определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью с.
Упражнение. Начертить траектории плоских движений, заданных уравнениями: в описанном выше параболическом движении предположить начальное положение частицы (при в начале координат и считать Найти координаты самой высокой точки траектории. Найти время и значение х, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью
Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени и соответствующие им положения частиц и составив отношение
Например, если измерено в часах, а ; в километрах, то при разность будет число километров, пройденных за 1 час, скорость (километров в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение
не изменяется при любых значениях Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (3) не дает значения скорости в момент а представляет собой то, что принято называть средней скоростью в промежутке времени от до Чтобы получить скорость в момент нужно вычислить предел средней
скорости при стремлении Таким образом, вместе с Ньютоном определим скорость так:
Другими словами, скорость есть производная от «пройденного пути» (координаты частицы на прямой) по времени, или «мгновенная скорость изменения» пути по отношению ко времени - в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (3).
Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение - это просто производная от производной; оно обычно обозначается символом и называется второй производной от функции
Галилейзаметил, что вертикальное расстояние х, проходимое при свободном падении тела в течение времени выражается формулой
